考試月歷

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)絕密啟用前

沖刺2022年高考數學真題重組卷05

 學(新高考地區專用)

注意事項: 

1.答卷前,考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

1.(2021·全國·高考真題)已知全集重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),集合重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)       

A重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) B重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) C重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) D重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

【答案】A

【解析】

由題意可得:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

故選:A.

2.(2011·全國·高考真題)復數重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的共軛復數是(       

A重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) B重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) C重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) D重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

【答案】C

【解析】

由題意知,

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以復數的共軛復數為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

故選:C

3.(2020·全國·高考真題)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的展開式中x3y3的系數為(       

A5 B10

C15 D20

【答案】C

【解析】

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)展開式的通項公式為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的各項與重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)展開式的通項的乘積可表示為:

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)中,令重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),可得:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),該項中重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的系數為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)中,令重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),可得:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),該項中重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的系數為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的系數為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

故選:C

【點睛】

本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式,還考查了賦值法、轉化能力及分析能力,屬于中檔題.

4.(2020·全國·高考真題)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x(單位:°C)的關系,在20個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗,由實驗數據重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)得到下面的散點圖:

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) 

由此散點圖,在10°C40°C之間,下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型的是(       

A重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) B重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

C重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) D重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

【答案】D

【解析】

由散點圖分布可知,散點圖分布在一個對數函數的圖象附近,

因此,最適合作為發芽率重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)和溫度重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的回歸方程類型的是重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

故選:D.

【點睛】

本題考查函數模型的選擇,主要觀察散點圖的分布,屬于基礎題.

5.(2020·全國·高考真題)已知向量 重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)滿足重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用), 重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

A重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) B重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) C重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) D重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

【答案】D

【解析】

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

因此,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

故選:D.

【點睛】

本題考查平面向量夾角余弦值的計算,同時也考查了平面向量數量積的計算以及向量模的計算,考查計算能力,屬于中等題.

6.(2021·全國·高考真題)下列函數中最小值為4的是(       

A重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) B重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

C重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) D重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

【答案】C

【解析】

對于A,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),當且僅當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時取等號,所以其最小值為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),A不符合題意;

對于B,因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),當且僅當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時取等號,等號取不到,所以其最小值不為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),B不符合題意;

對于C,因為函數定義域為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),而重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),當且僅當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),即重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時取等號,所以其最小值為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),C符合題意;

對于D,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),函數定義域為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),而重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),如當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),D不符合題意.

故選:C

【點睛】

本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件,明確一正二定三相等的意義,再結合有關函數的性質即可解出.

7.(2020·山東·高考真題)已知函數重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)是偶函數,當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則該函數在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)上的圖像大致是(       

A重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) B重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

C重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) D重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

【答案】B

【解析】

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)上遞減,

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)是偶函數,所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)上遞增.

注意到重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以B選項符合.

故選:B

8.(2021·全國·高考真題)設重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)是橢圓重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的上頂點,若重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)上的任意一點重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)都滿足重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的離心率的取值范圍是(       

A重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) B重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) C重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) D重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

【答案】C

【解析】

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),由重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),因為 重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),即 重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),即 重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),符合題意,由重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)可得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),即 重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用);

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),即重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時, 重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),即重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),化簡得, 重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),顯然該不等式不成立.

故選:C

【點睛】

本題解題關鍵是如何求出重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的最大值,利用二次函數求指定區間上的最值,要根據定義域討論函數的單調性從而確定最值.

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.

9.(2020·海南·高考真題)已知曲線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).       

A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點在y軸上

B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

C.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

D.若m=0,n>0,則C是兩條直線

【答案】ACD

【解析】

對于A,若重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)可化為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

即曲線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)表示焦點在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)軸上的橢圓,故A正確;

對于B,若重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)可化為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

此時曲線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)表示圓心在原點,半徑為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的圓,故B不正確;

對于C,若重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)可化為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

此時曲線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)表示雙曲線,

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)可得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),故C正確;

對于D,若重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)可化為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),此時曲線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)表示平行于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)軸的兩條直線,故D正確;

故選:ACD.

【點睛】

本題主要考查曲線方程的特征,熟知常見曲線方程之間的區別是求解的關鍵,側重考查數學運算的核心素養.

10.(2022·山東日照·一模)已知函數重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則(       

A.函數重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的圖象關于y軸對稱 B重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,函數重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的值域為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

C.函數重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的圖象關于點重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)中心對稱 D.函數重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的最小正周期是8

【答案】BCD

【解析】

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)Z,得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)Z,故A錯誤;

因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),故B正確;

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)Z,得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)Z,所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的對稱中心為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),故C正確;

因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),故D正確.

故選:BCD.

11.(2021·廣東·華南師大附中模擬預測)國家環保部門要求相關企業加強污水治理,排放未達標的企業要限期整改.設企業的污水排放量重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)與時間重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的關系重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),用重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的大小評價在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)這段時間內企業污水治理能力的強弱.已知整改期內,甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如圖所示,給出下列四個結論正確的是(

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) 

A.甲企業在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)這三段時間中,在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的污水治理能力最強;

B.在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時刻,甲企業的污水治理能力比乙企業強;

C.在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時刻,甲、乙兩企業的污水排放都已達標;

D.在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)這段時間內,甲企業的污水治理能力比乙企業強.

【答案】BCD

【解析】

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)表示重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的割線斜率的相反數;

對于A,在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)三段時間中,在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)中割線的斜率最大且都小于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)最小,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)甲企業在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的污水治理能力最弱,A錯誤;

對于B,在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時刻,甲企業在該點的切線斜率比乙企業在該點的切線斜率小且都小于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)甲企業在該點的污水治理能力比乙企業強,B正確;

對于C,在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時刻,甲乙企業的污水排放量都位于污水達標排放量以下,均達標,C正確;

對于D,在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)這段時間內,甲企業的割線斜率要小于乙企業的割線斜率且都小于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)這段時間中,甲企業更大,

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)甲企業在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)這段時間中的污水治理能力比乙企業強,D正確.

故選:BCD.

12.(2022·全國·模擬預測)觀察下面一組等式:

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)表示第i個等式中等號右邊第j個數,如重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則(       

A重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) B重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

C重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) D重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

【答案】AD

【解析】

根據所給數據,歸納總結可得第n行,等號右邊每一個式子,第一項為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),最后一項均為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),故B錯誤;

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

對于A:當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,等號右邊第一個數為1981,最后一個數為2069,

所以2021在第45行內,故A正確;

對于C:第n行,右邊第二項為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),故C錯誤;

對于D:因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),且重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),故D正確.

故選:AD

【點睛】

解題的關鍵是根據所給圖示,歸納總結出第n行的規律,并結合不等式的性質,裂項相消求和法進行計算,考查分析理解,計算求值的能力,屬中檔題.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.

13.(2021·全國·高考真題)已知函數重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)是偶函數,則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)______.

【答案】1

【解析】

因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),故重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)為偶函數,故重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),整理得到重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

故答案為:1

14.(2021·全國·高考真題)記重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)________

【答案】重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

【解析】

由題意,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),解得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)(負值舍去).

故答案為:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

15.(2021·全國·高考真題)已知重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)為橢圓C重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的兩個焦點,P,QC上關于坐標原點對稱的兩點,且重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則四邊形重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的面積為________

【答案】重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

【解析】

因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)上關于坐標原點對稱的兩點,

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以四邊形重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)為矩形,

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),即四邊形重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)面積等于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

故答案為:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

16.(2019·全國·高考真題)已知ACB=90°,P為平面ABC外一點,PC=2,點PACB兩邊AC,BC的距離均為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),那么P到平面ABC的距離為___________

【答案】重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

【解析】

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)分別垂直于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),連重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平分線,

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),又重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) 

【點睛】

畫圖視角選擇不當,線面垂直定理使用不夠靈活,難以發現垂直關系,問題即很難解決,將幾何體擺放成正常視角,是立體幾何問題解決的有效手段,幾何關系利于觀察,解題事半功倍.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(2020·山東·高考真題)12分)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.

問題:是否存在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),它的內角重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的對邊分別為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),且重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),________?

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

【解析】

[方法一]【最優解】:余弦定理

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)可得:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),不妨設重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

則:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),即重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

若選擇條件

據此可得:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),此時重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

若選擇條件

據此可得:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

則:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),此時:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

若選擇條件

可得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),與條件重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)矛盾,則問題中的三角形不存在.

[方法二]:正弦定理

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),即重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).由于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

若選擇條件

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

解得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).所以,選條件時問題中的三角形存在,此時重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

若選擇條件

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),解得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

所以,選條件時問題中的三角形存在,此時重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

若選擇條件

由于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)矛盾,所以,問題中的三角形不存在.

【整體點評】

方法一:根據正弦定理以及余弦定理可得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的關系,再根據選擇的條件即可解出,是本題的通性通法,也是最優解;

方法二:利用內角和定理以及兩角差的正弦公式,消去角重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),可求出角重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),從而可得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),再根據選擇條件即可解出.

18.(2020·海南·高考真題)12分)

已知公比大于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的等比數列重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)滿足重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

1)求重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的通項公式;

2)求重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

【解析】

(1) 設等比數列重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的公比為q(q>1),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

整理可得:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

數列的通項公式為:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

(2)由于:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),故:

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

【點睛】

等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題,解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用,等差數列與等比數列求和公式是數列求和的基礎.

19.(2020·海南·高考真題)12分)

為加強環境保護,治理空氣污染,環境監測部門對某市空氣質量進行調研,隨機抽查了重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)天空氣中的重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)濃度(單位:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)),得下表:

               重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

32

18

4

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

6

8

12

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

3

7

10

 

1)估計事件該市一天空氣中重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)濃度不超過重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),且重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)濃度不超過重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的概率;

2)根據所給數據,完成下面的重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)列聯表:

               重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)



重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)



 

3)根據(2)中的列聯表,判斷是否有重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的把握認為該市一天空氣中重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)濃度與重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)濃度有關?

附:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

0.050                  

0.010

   0.001

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

3.841                       

6.635

10.828

 

【解析】

1)由表格可知,該市100天中,空氣中的重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)濃度不超過75,且重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)濃度不超過150的天數有重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)天,

所以該市一天中,空氣中的重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)濃度不超過75,且重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)濃度不超過150的概率為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用);

2)由所給數據,可得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)列聯表為:

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

合計

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

64

16

80

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

10

10

20

合計

74

26

100

 

3)根據重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)列聯表中的數據可得

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

因為根據臨界值表可知,有重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的把握認為該市一天空氣中重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)濃度與重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)濃度有關.

【點睛】

本題考查了古典概型的概率公式,考查了完善重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)列聯表,考查了獨立性檢驗,屬于中檔題.

20.(2020·山東·高考真題)12分)

如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為l

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) 

1)證明:l平面PDC;

2)已知PD=AD=1,Ql上的點,求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

【解析】

1)證明:

在正方形重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)中,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),又因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),因為在四棱錐重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)中,底面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)是正方形,所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

2[方法一]【最優解】:通性通法

因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)兩兩垂直,建立空間直角坐標系重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),如圖所示:

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) 

因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),設重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則有重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

設平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的法向量為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),即重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的一個法向量為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

根據直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值,所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),當且僅當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時取等號,所以直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)與平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)所成角的正弦值的最大值為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

[方法二]:定義法

如圖2,因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) 

在平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)中,設重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

在平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)中,過P點作重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),交重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)F,連接重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

又由重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).又重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).又由重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),從而重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)即為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)與平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)所成角.

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),在重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)中,易求重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)相似,得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),可得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),當且僅當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時等號成立.

[方法三]:等體積法

如圖3,延長重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)G,使得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),連接重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),過G點作重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),交平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)M,連接重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)即為所求.

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用) 

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),在三棱錐重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)中,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

在三棱錐重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)中,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

解得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

當且僅當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時等號成立.

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)中,易求重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

【整體點評】

2)方法一:根據題意建立空間直角坐標系,直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為平面重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的法向量重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)與向量重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的夾角的余弦值的絕對值,即重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),再根據基本不等式即可求出,是本題的通性通法,也是最優解;

方法二:利用直線與平面所成角的定義,作出直線PB與平面QCD所成角,再利用解三角形以及基本不等式即可求出;

方法三:巧妙利用重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),將線轉移,再利用等體積法求得點面距,利用直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為點面距與線段長度的比值的方法,即可求出.

21.(2021·全國·高考真題)12分)

已知拋物線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的焦點F到準線的距離為2

1)求C的方程;

2)已知O為坐標原點,點PC上,點Q滿足重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),求直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)斜率的最大值.

【解析】

1)拋物線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的焦點重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),準線方程為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

由題意,該拋物線焦點到準線的距離為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以該拋物線的方程為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用);

2[方法一]:軌跡方程+基本不等式法

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)在拋物線上可得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),即重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

據此整理可得點重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的軌跡方程為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的斜率重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用);

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

此時重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),當且僅當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),即重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,等號成立;

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用);

綜上,直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的斜率的最大值為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

[方法二]:【最優解】軌跡方程+數形結合法

同方法一得到點Q的軌跡方程為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

設直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的方程為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則當直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)與拋物線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)相切時,其斜率k取到最值.聯立重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),其判別式重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),解得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)斜率的最大值為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

[方法三]:軌跡方程+換元求最值法

同方法一得點Q的軌跡方程為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

設直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的斜率為k,則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的對稱軸為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).故直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)斜率的最大值為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

[方法四]:參數+基本不等式法

由題可設重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

于是重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

則直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的斜率為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

當且僅當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),即重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時等號成立,所以直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)斜率的最大值為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

【整體點評】

方法一根據向量關系,利用代點法求得Q的軌跡方程,得到直線OQ的斜率關于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的表達式,然后利用分類討論,結合基本不等式求得最大值;

方法二 同方法一得到點Q的軌跡方程,然后利用數形結合法,利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值,為最優解;

方法三同方法一求得Q的軌跡方程,得到直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的斜率k的平方關于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的表達式,利用換元方法轉化為二次函數求得最大值,進而得到直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)斜率的最大值;

方法四利用參數法,由題可設重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),求得x,y關于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的參數表達式,得到直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的斜率關于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的表達式,結合使用基本不等式,求得直線重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)斜率的最大值.

22.(2020·全國·高考真題)12分)

已知函數f(x)=sin2xsin2x.

1)討論f(x)在區間(0,π)的單調性;

2)證明:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用);

3)設nN*,證明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

【解析】

(1)由函數的解析式可得:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則:

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)上的根為:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)單調遞增,

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)單調遞減,

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)單調遞增.

(2)[方法一]【最優解】:基本不等式法

由四元均值不等式可得

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),當且僅當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時等號成立.

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

[方法二]:構造新函數+齊次化方法

因為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),令重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),則問題轉化為求重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的最大值.

求導得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),令重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),得重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),函數重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)單調遞增;

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),函數重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)單調遞減.

所以函數重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的最大值為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),故重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

[方法三]:結合函數的周期性進行證明

注意到重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

故函數重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)是周期為重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)的函數,

結合(1)的結論,計算可得:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

據此可得:重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用).

(3)[方法一]【最優解】:利用(2)的結論

由于重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

所以重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

[方法二]:數學歸納法+放縮

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),顯然成立;

假設當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時原式成立,即重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)

那么,當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時,有

重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用),

即當重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)時不等式也成立.

綜上所述,不等式對所有的重組卷05-沖刺2022年高考數學真題+模擬重組卷(新高考地區專用)都成立.

【整體點評】

(2)方法一:基本不等式是證明不等式的重要工具,利用基本不等式解題時一定要注意等號成立的條件;

方法二:齊次化之后切化弦是一種常用的方法,它將原問題轉化為一元函數的問題,然后構造函數即可證得題中的不等式;

方法三:周期性是三角函數的重要特征,結合函數的周期性和函數的最值證明不等式充分體現了三角函數有界限的應用.

(3)方法一:利用(2)的結論體現了解答題的出題思路,逐問遞進是解答題常見的設問方式;

方法二:數學歸納法是處理與自然數有關的命題的常見策略,放縮法是不等式證明中常見的方法.

 

 

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